La función de dispersión de punto (PSF) en astrofotografía amateur

La función de dispersión de punto (PSF) en astrofotografía amateur

La función de dispersión de punto o PSF (Point Spread Function) es clave para entender diferentes aspectos de la astrofotografía, desde la calidad óptica de tu telescopio y su límite de resolución hasta la evaluación de las condiciones meteorológicas idóneas. También es útil  para comprender algunas técnicas de procesamiento de imagen.

Aunque sus detalles requieren cálculos de cierta complejidad, voy a intentar explicar algunos de los aspectos más relevantes para tus fotografías astronómicas sin entrar en las complejidades matemáticas implicadas.

Destilar la luz

Tus astrofotografías se basan en captar la luz que llega al sensor de tu cámara fotográfica tras atravesar el tren óptico de tu telescopio. Para comprender el proceso involucrado empezaré con una pincelada sobre cómo se comporta la luz en ese proceso.

La luz tiene naturaleza de onda y la imagen más familiar para todos de lo que es una onda se produce cuando arrojamos una piedra a la superficie de un estanque. Las ondulaciones se van alejando del lugar donde lanzaste la piedra conforme pasa el tiempo. Y si lanzas dos piedras en diferentes puntos del estanque, estas ondulaciones pueden interactuar: cuando coinciden dos valles, se produce un valle mayor; cuando coinciden dos picos, se suman las alturas; y cuando se cruza un pico con un valle, ambos se contrarrestan. Estas mismas interacciones o interferencias se dan también en la luz, que se traslada en tres dimensiones de forma que la esfera de ondas luminosas se va alejando del punto que la originó en todas direcciones.

La luz a través de un punto

Cuando una onda como la luz choca con un muro opaco al que se le ha perforado un orificio (un punto, no un boquete) sucede que, para quienes están al otro lado del muro, en una habitación oscura, ese punto se comporta de nuevo como una fuente de luz puntual. Es decir, a partir del orificio, la luz se irradia como una onda que «nace» desde el orificio y se expande en todas direcciones. Es como si la luz doblase las esquinas.

Aunque este comportamiento de las ondas pueda resultar sorprendente, en realidad estamos familiarizados con él para el caso de las ondas sonoras. Las ondas sonoras tienen un longitud muchísimo mayor que las de la luz y esto les facilita ese comportamiento de proyectarse desde una esquina. Por eso no tenemos dificultad para escuchar un concierto desde detrás de una columna, aunque no seamos capaces de ver a los músicos: el sonido «da la vuelta» alrededor de la columna.

Luz a través de rendijas

Lo curioso de este asunto, es que si al muro se le practica una rendija en lugar de un orificio puntual, cada punto de la rendija actúa como una nueva fuente puntual de luz para quienes están dentro de la habitación. Y las diferentes ondas que nacen en cada punto de la rendija pueden, como en estanque, interferir unas con otras superponiéndose o cancelándose, lo que provoca que, al proyectarse sobre la pared opuesta, en lugar de observarse una línea de luz, pueda observarse un banda de luz rodeada de otras de menor intensidad y separadas por bandas oscuras. Lo que vemos es el patrón de interferencia de los diferentes puntos de la onda tras atravesar la rendija.

Con dos rendijas en sitios diferentes del muro aún se acentúa más este efecto. Las ondas que nacen en cada rendija interfieren unas con otras, imprimiendo un patrón de varias franjas luminosas y oscuras en la pared opuesta de la habitación, según las ondas luminosas estén sumándose o contrarrestándose. Esta es la base del famoso experimento de Young que sirvió para defender la naturaleza de onda de la luz cuando esta cuestión formaba parte de un memorable debate científico. Si la luz se comportase como una partícula, las dos rendijas proyectarían dos líneas de luz sobre la pared, no un patrón con varias bandas de luz y oscuridad.

Sin embargo, la luz también puede exhibir comportamientos de partícula, como en el llamado efecto fotoeléctrico que utilizan los sensores de las cámaras fotográficas actuales, cuyos materiales parecen transformar el impacto de una partícula de luz en electricidad. Los modernos modelos cuánticos son capaces de explicar a la vez la dualidad de comportamientos de onda y partícula de la luz pero, sin entrar en más detalles, digamos que en general la luz parece viajar como si fuera una onda aunque parece interactuar con la materia como si estuviese compuesta de partículas llamadas fotones.

Luz por un tubo

En lugar de hacer pasar la luz por un punto, un telescopio tiene habitualmente una abertura circular cuyo diámetro se denomina apertura. Pero existe otro instrumento, más  utilizado para ver que el propio telescopio, que también hace pasar la luz por una abertura circular: el ojo humano. En este caso, la abertura circular recibe el nombre de pupila. Por tanto para entender cómo captas la luz, no solo con tu telescopio sino también con tus ojos, necesitas comprender como se comporta la luz al atravesar una abertura circular.

Al igual que sucede en el ejemplo de dos rendijas, una onda luminosa que atraviesa una abertura circular genera un patrón característico de interferencias consigo misma. El cálculo de ese patrón es complejo, aunque no muy diferente del experimento de la rendija. De hecho, un círculo puede entenderse como el conjunto infinito de todos sus diámetros. Y cada diámetro puede considerarse una rendija.

Esto nos lleva por fin a la función dispersión de punto, que describe la figura que dibuja un punto luminoso después de atravesar una abertura circular. En lugar de proyectarse como un punto, como cabría esperar si la luz no fuese una onda, o como franjas alternas, como sucedía con las rendijas, al otro lado de la abertura se dibuja un patrón característico consistente en un disco luminoso central rodeado de anillos concéntricos de luz separados por zonas de oscuridad, es decir, una figura con forma de diana.

El disco central concentra el 84% del brillo del patrón y se conoce como disco de Airy, mientras que el primer anillo concéntrico recoge un 7% adicional del brillo y el segundo ya menos del 3%. El resto del brillo residual se acumula en anillos sucesivos, cada vez menos brillantes.

Una de las primeras consecuencias de este patrón de difracción luminosa es que, si observas dos puntos luminosos que estén suficientemente cercanos entre sí, los discos de Airy que generan acabaran solapándose y por tanto no serás capaz de distinguir un punto de otro, sino que se confundirán en una única mancha luminosa. Resulta que la capacidad de distinguir esos objetos, de resolverlos como objetos diferenciados, depende del diámetro de la apertura (y de la longitud de onda de la luz). Por eso un telescopio de mayor diámetro tiene mayor resolución que uno más pequeño. Y por eso nuestros ojos, incluso con una visión perfecta, no serían capaces de distinguir objetos situados a suficiente distancia: la separación de esos objetos en términos angulares se vuelve cada vez más pequeña con la distancia, hasta el punto en que la difracción forma discos que se solapan y hacen que dos puntos resulten indistinguibles.

Las estrellas como puntos de luz

Por suerte para los aficionados a la astronomía, las fuentes puntuales de luz son muy frecuentes en este campo: cada estrella puede considerarse un punto de luz. Aunque físicamente se trate de esferas incandescentes, las increíbles distancias a las que están situadas hacen que se comporten, en la práctica, como puntos a todos los efectos.

Sin embargo, cuando fotografías una estrella, tu cámara no captará un punto de luz en un único pixel del sensor, sino un círculo que puede ocupar varios pixeles: el disco de Airy. Sorprendentemente, las estrellas brillantes generan discos más grandes y las más débiles discos más pequeños, a pesar de que en teoría todos los discos deberían ser iguales, ya que como hemos visto arriba su tamaño depende solo de la apertura del telescopio y de la longitud de onda de la luz y no tiene nada que ver con el tamaño de las estrellas, ya que todas las estrellas pueden considerarse como puntos en los equipos de aficionados.

El motivo de esta aparente diferencia es que el brillo disminuye muy rápidamente conforme nos alejamos del centro del disco de Airy y llega un momento en que, para las estrellas menos brillantes, tu sensor no tendrá la sensibilidad suficiente para detectar la periferia del disco. Es decir, los estrellas «pequeñas» son en realidad discos incompletos, hasta donde alcanza la sensibilidad del sensor. Y los anillos, claro, no resultarán visibles en general en tus fotografías. Puedes consultar más detalles sobre este tema aquí.

Sin embargo, es posible observar los círculos concéntricos que rodean al disco de Airy sencillamente enfocando una estrella brillante visualmente a través del ocular de tu telescopio, aplicando una magnificación elevada. En condiciones meteorológicas estables son fáciles de observar, pero una atmósfera inestable hará difícil su observación. De hecho, esto suele utilizarse para valorar si las condiciones meteorológicas son apropiadas para la observación y también para la fotografía, es decir, se trata de una forma de valorar el seeing o visibilidad astronómica. Para lograr unas fotografías de máxima resolución necesitarás asegurarte de que la visibilidad astronómica es buena. Si eres capaz de ver varios anillos estables de luz rodeando un disco estable, enhorabuena, las condiciones son fabulosas. Si no ves ningún anillo y el disco se mueve de un lado para otro constantemente, entonces deberías pensarte si es hora de dedicarte a otros menesteres.

En conclusión, el disco de Airy será más grande cuanto más pequeña sea la apertura del telescopio, cuanto mayor sea la magnificación aplicada al mismo o cuanto menor sea la sensibilidad del sistema de observación, ya sea el ojo o un sensor fotográfico (ya en el siglo XIX se observó que una delgada capa de nubes altas podía hacer disminuir el tamaño de los discos que se observan).

El telescopio como tubo

Las palabras telescopio y tubo suelen utilizarse indistintamente. Sin embargo no todos los instrumentos ópticos son exactamente tubos. Nuestras pupilas son aberturas circulares y también lo son los telescopios refractores, salvo por las imperfecciones de manufactura. Pero los telescopios reflectores tienen algunas peculiaridades.

Si utilizas un reflector sabrás que el espejo secundario está sujeto a la boca del tubo por los alambres de la llamada «araña». Existen diferentes  modelos de araña, pero en cualquier caso esos alambres hacen que tu apertura no tenga exactamente forma de círculo sino de «círculo con araña». Esto afecta al patrón de difracción comentado arriba y provoca las famosas espigas de difracción que aparecen como líneas simétricas surgiendo desde el disco de Airy. Por desgracia, la luz que está en las espigas no puede estar a la vez en el disco, lo que le restará un poco de brillo al mismo, aunque su impacto es realmente muy pequeño y no notarás diferencias en su rendimiento respecto a un refractor por este motivo.

El espejo secundario supone una obstrucción mayor en el camino de la luz y elimina parte de la luz que puede entrar en el tubo. Si el diámetro del espejo secundario es un 30% del diámetro del tubo, su área será el 9% del área del tubo, ya que el área es proporcional al cuadrado del diámetro (0.30×0.30=0.09=9%), así que en términos de transmisión de luz la pérdida tampoco es dramática, salvo para obstrucciones muy grandes. Un reflector de 100mm lograría en teoría la misma transmisión de luz que un refractor de 91mm.

Sin embargo, el aspecto relevante que suele pasar desapercibido es que esta obstrucción también modifica los patrones de interferencia que hemos comentado arriba, es decir, modifica la función de dispersión de punto, que cambia respecto a una apertura sin obstrucción. Los impactos principales de la obstrucción son:

  • Parte del brillo del disco de Airy se translada hacia los anillos concéntricos, sobre todo al primero; también al segundo o posteriores para obstrucciones elevadas
  • El disco de Airy se hace más pequeño
  • El patrón de difracción en su conjunto se hace más grande

Y esto tiene a su vez varias consecuencias sobre el rendimiento del equipo:

  • La obstrucción te hace más difícil captar los discos de Airy, que ahora brillan menos
  • Logras anillos más brillantes, pero en general tampoco te beneficiarás de esto en tus fotos
  • Pierdes contraste en las frecuencias bajas al incrementarse el tamaño total del patrón de difracción
  • Ganas contraste en las frecuencias altas debido a los menores discos de Airy

La elección entre refractores o reflectores es fuente de interminables debates entre aficionados y aunque en general, a igualdad de apertura, suele preferirse un refractor, la inspección de los detalles de las funciones de transferencia de modulación y contraste ofrece la paradoja de un mayor contraste para los detalles pequeños en el caso de los reflectores, a pesar de sus inconvenientes en contraste de baja frecuencia y luminosidad. En la práctica dudo que exista una diferencia notable entre un tipo y otro de diseño, ya que otros aspectos suelen ser más relevantes en la realización de fotografías u observación visual por parte de aficionados: enfoque y seguimiento, por mencionar solo un par.

En conclusión, conviene tener presente que un reflector no es propiamente un tubo desde la perspectiva de su apertura, ya que la sección de entrada de la luz es en realidad una corona circular. Aunque, siendo honesto, te recomiendo que sigas diciendo que fotografías con un tubo y no que tu afición consiste en salir de noche con una corona…

Naturalmente, podríamos experimentar con otro tipo de aperturas para nuestros telescopios, ¿por qué no hacer telescopios cuadrados o triangulares o hexagonales? Pues resulta que el patrón de difracción, la función de dispersión de punto de este tipo de aperturas hace que el contraste sea menor que una apertura circular en todas las frecuencias. Veríamos peor en términos de contraste. Y por eso seguramente la naturaleza nos ha dado también pupilas redondas, aunque algunos animales exhiban pupilas con diferentes formas que pueden ofrecer otras ventajas evolutivas en determinadas condiciones. Aunque por otro lado no siempre es conveniente ver las cosas en todo su esplendor. Por ejemplo, para intentar resolver estrellas binarias muy cercanas, puede incorporarse una máscara hexagonal al tubo. Esto tiene el efecto, en principio nocivo, de reducir parte del brillo mediante un cambio del patrón de difracción, pero puede ayudarte a resolver a la compañera más débil del sistema binario que de otra forma quedaría envuelta en el manto de luz de su hermana mayor.

Por último, la inspección detallada de la función de dispersión de punto que genera un telescopio puede servir para identificar y corregir defectos en su óptica. Ni más ni menos el análisis detallado de la función de dispersión fue utilizado para corregir los defectos iniciales detectados en el telescopio Hubble tras su lanzamiento. Como puedes ver en esta foto, la PSF del Hubble distaba mucho de ser perfecta antes de las correcciones.

Evaluación de fotografías mediante FWHM

La función de dispersión de punto nos lleva a otro concepto interesante conocido como FWHM (Full Width Half Maximum), o Anchura a Media Altura.

Un patrón de difracción perfecto tiene un brillo máximo en el centro del disco de Airy que va disminuyendo rápidamente desde el centro y se interrumpe súbitamente para dar lugar a una serie de anillos concéntricos cuyo brillo es decreciente. La anchura a media altura es sencillamente la distancia a la que hemos de alejarnos del centro del disco luminoso para que el brillo disminuya hasta la mitad de su valor máximo en el centro del disco. Con un mismo equipo y sensor, cuanto más pequeño sea el FWHM mejor, ya que esto indica que la luz, disculpas por el tecnicismo, se ha desparramado menos por la fotografía.

En condiciones óptimas, la teoría nos dice cuál debería ser el FWHM, que viene determinado por la función de dispersión de punto. Pero en la práctica, la disminución de brillo del disco conforme nos alejamos de su centro dependerá de nuevo de muchos otros factores: imperfecciones en la óptica, colimación, enfoque, aberraciones como la coma, visibilidad astronómica de la atmósfera, seguimiento, etc…

Puedes utilizar el valor observado de FWHM en tu fotografía para medir hasta que punto se diferencia la imagen obtenida del modelo teórico que ofrecería una óptica perfecta en condiciones perfectas. Y puedes usar esto para corregir errores de colimación o enfoque,. Con la atmósfera no podrás hacer mucho y éste suele ser el principal factor de limitación en las observaciones de aficionados, pero bien mirado los inconvenientes que arroja la atmósfera son un pequeño precio que hay que pagar a cambio de poder respirar.

El FWHM también te ofrece un buen baremo para evaluar de forma sencilla la calidad técnica de tus fotografías. Esto te permitirá mejorar tu trabajo con un criterio objetivo. Por suerte, puedes medir el FWHM fácilmente con IRIS, o utilizar otro software gratuito o comercial.

Por último, es FWHM resulta útil también para determinar la resolución máxima en astrofotografía.

Procesado de imágenes mediante deconvolución

En el procesado de tus imágenes es posible que te hayas topado con una opción del software llamada deconvolución. Conociendo la función de dispersión de punto es sencillo entender lo que pretende hacer este proceso de nombre tan sonoro.

Ya sabes que si fotografías un punto de luz, la imagen de ese punto se transformará en un disco y que, con una óptica perfecta y un sensor perfecto, lograrías fotografiar el patrón de difracción completo con anillos incluidos. A esa transformación de punto a disco con anillos se le llama en matemáticas una convolución. En realidad, el nombre puede aplicarse a cualquier transformación de una función (en este caso la imágen) por otra función (en este caso la función de dispersión de punto).

Y la deconvolución es sencillamente la operación matemática inversa a la convolución, igual que la multiplicación y la división son inversas: si tuviéses una fotografía que mostrase un único patrón de difracción completo te bastaría con sumar todos los brillos de ese patrón y asignárselos al pixel situado en el centro del disco de Airy para reconstituir la imagen original (un punto de luz) que se ha desparramado por efecto de la difracción cuando la luz atravesó tu sistema óptico. La deconvolución te devolvería la imagen original en lugar del resultado fotográfico. Genial.

Claro que, en la práctica, los cálculos necesarios para operar una deconvolución exitosa sobre una fotografía real son bastante más complejos, ya que, por ejemplo, todos los puntos de luz que constituyen la imagen original se desparraman por la fotografía y pueden solaparse unos con otros, lo que obliga a trabajar con toda la fotografía en su conjunto. Además, el sensor de la cámara tiene una sensibilidad limitada y no captará un patrón de difracción completo. A esto le sumamos que la fotografía también estará constituida por diferentes tipos de ruido con causas variadas, no solamente por señal procedente de la imagen. Y por si fuera poco, el patrón puede verse alterado por causas ajenas a la difracción que harán que se diferencie de un modelo perfecto. Arriba vimos como impacta una sencilla obstrucción central circular, para la cual también existen de modelos teóricos. Pero existen otros factores que pueden afectar a cómo se transforma un punto de luz en una imagen en la práctica. Por mencionar solo algunos: colimación, enfoque, defectos en la óptica, aberraciones (coma, aberración esférica y otros), seguimiento de la montura, visibilidad astronómica o seeing, anisoplanatismo (variaciones de la PSF a lo largo y ancho del plano de la imágen), etc…

Una buena función de deconvolución necesita evaluar de alguna manera todos estos detalles para ofrecer un resultado satisfactorio. Y aquí es donde pueden aparecer problemas, ya que la aplicación de la deconvolución, si no parte de una compresión de estos factores, puede generar artefactos que no tienen nada que ver con la ansiada imagen original. No obstante, no deja de ser una interesante herramienta con la que trabajar, conociendo su objetivo y sus limitaciones. En la práctica, lo que se hace es partir de la imagen fotografiada de una estrella y tomarla como referencia para inferir cuál es la PSF que haría que un punto se transformase en es ese resultado. Como ejemplo, las primeras imágenes del Hubble, distorsionadas por una espejo defectuoso, pudieron mejorarse con estas técnicas.

Las formulación matemática

Hasta ahora he intentado evitar las fórmulas para no espantar al lector, pero si te interesa la vertiente matemática de este asunto, la intensidad del patrón de difracción de Fraunhofer puede formularse como el cuadrado del módulo de la transformada de Fourier de la apertura circular. Sin entrar en las ecuaciones diferenciales de las que se obtiene, la intensidad toma la siguiente forma:

donde I0 es la intensidad máxima en el centro del disco de Airy

theta es la distancia angular al centro del disco de Airy (radianes)

J1 es la primera función de Bessel de primer tipo

k = 2pi/lambda, siendo lambda la longitud de onda de la luz (metros)

 a es el radio de apertura circular del tubo (metros)

Partiendo de esta fórmula puede calcularse la estructura de intensidades del patrón de difracción para una apertura circular. Los resultados que se obtienen para el disco y los anillos es la siguiente:

Radio (radianes)        % del brillo total

Máximo central             0

Primer cero                    1.22 lambda / D         83.9%

Primer anillo                  1.64  lambda / D          7.1%

Segundo cero                2.24   lambda / D         

Segundo anillo              2.66  lambda / D           2.8%

Tercer cero                    3.20  lambda / D

Tercer anillo                  3.70  lambda / D           1.5%

Cuarto cero                   4.24  lambda / D

Realiza tus propias pruebas con la función de dispersión de punto

Si te interesa obtener imágenes teóricas de la función de dispersión de punto para diferentes tipos de telescopio y en función de diferentes efectos que pueden afectar a la óptica te recomiendo descargar el software gratuito Aberrator. La imagen del encabezado fue construida con Aberrator V3.